1.. 1. Ani, nia, dan ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah ....
a. Rp 37.000,00
b. Rp 44.000,00
c. Rp 51.000,00
d. Rp 55.000,00
e. Rp 58.000,00
Penyelesaian:
Misalkan: apel = x
Anggur = y
Jeruk = z
Dari soal diatas, dapat disusun sistem persamaan linier sebagai berikut.
(i) 2x + 2y + z = 67.000
(ii) 3x + y + z = 61.000
(iii) x + 3y + 2z = 80.000
Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):
2x + 2y + z = 67.000
3x + y + z = 61.000 -
-x + y = 6.000 persamaan (iv)
Eliminasi variabel z persamaan (ii) dan (iii):
3x + y + z = 61.000 |x2| 6x + 2y + 2z = 122.000
x + y + 2z = 80.000 |x1| x + 3y + 2z = 80.000 -
5x – y = 42.000 persamaan (v)
Eliminasi variabel y persamaan (iv) dan (v):
-x + y = 6.000
5x – y = 42.000 +
4x = 48.000
x = 12.000
eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):
-x + y = 6.000 |x5| -5x + 5y = 30.000
5x – y = 42.000 |x1| 5x – y = 42.000 +
4y = 72.000
y = 18.000
Eliminasi variabel x persamaan (i) dan (iii):
2x + 2y + z = 67.000 |x1| 2x + 2y + z = 67.000
x + y + 2z = 80.000 |x2| 2x + 6y + 4z = 160.000 -
-4y – 3z = 93.000 persamaan (vi)
Eliminasi variabel x persamaan (ii) dan (iii):
3x + y + z = 61.000 |x1| 3x + y + z = 61.000
x + y + 2z = 80.000 |x3| 3x + 9y + 6z = 240.000 -
-8y – 5z = 179.000 persamaan (vii)
Eliminasi variabel y persamaan (vi) dan (vii):
-4y – 3z = 93.000 |x2| -8y – 6z = 186.000
-8y – 5z = 179.000 |x1| -8y – 5z = 179.000 -
z = 7.000
jadi, harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7.000) = Rp 58.000,00
2.2. Himpunan penyelesaian dari sisitem persamaan
x + y – z = 1
8x + 3y – 6z = 1
-4x – y + 3z = 1
adalah ...
a. (-1, -2, 0)
b. (0, 1, 0)
c. (1, 1, 0)
d. (1, 1, -1)
e. (2, 4, 3)
Penyelesaian:
x + y – z = 1 (i)
8x + 3y – 6z = 1 (ii)
-4x – y + 3z = 1 (iii)
Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (iii):
x + y + z = 1
-4x – y + 3z = 1 +
-3x + 2z = 2 persamaan (iv)
Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):
x + y – z = 1 |x3| 3x + 3y - 3z = 3
8x + 3y – 6z = 1 |x1| 8x + 3y – 6z = 1 -
-5x + 3z = 2 persamaan (v)
Eliminasi variabel z persamaan (iv) dan (v):
-3x + 2z = 2 |x3| -9x + 6z = 6
-5x + 3z = 2 |x2| -10x + 6z = 4 -
x = 2
Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):
-3x + 2z = 2 |x5| -15x + 10z = 10
-5x + 3z = 2 |x3| -15x + 9z = 6 -
z = 4
eliminasi variabel x persamaan (i) dan (ii):
8x + 3y – 6z = 1 |x1| 8x + 3y – 6z = 1
-4x – y + 3z = 1 |x2| -8x -2y + 6z = 2 +
y = 3
jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (2, 4, 3)
3.3. Ahamad membeli di sebuah toko peralatan sekolah berupa 4 penggaris, 6 buah buku tulis, dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebesar Rp 19.000,00. Di Toko yang sama Sulaiman berbelanja 3 buah buku tulis dan sebuah penggaris dengan menghabiskan uang Rp 7.000,00. Jika harga sebuah penggaris adalah Rp 1.000,00 maka harga sebuah pena adalah ....
a. Rp 1.000,00
b. Rp 1.500,00
c. Rp 2.000,00
d. Rp 3.000,00
e. Rp 3.500,00
Penyelesaiaan:
Misalkan: x = harga sebuah penggaris
y = harga sebuah buku tulis
z = harga sebuah pena
diketahui: 4x + 6y + 2z = 19.000 (i)
3y + x = 7.000 (ii)
x = 1.000 (iii)
ditanya: z = ... ?
dijawab:
substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii):
3y + x = 7.000
3y + 1.000 = 7.000
3y = 6.000
y = 2.000 persamaan (iv)
substitusikan persamaan (iii) dan (iv) ke persamaan (i):
4x + 6y + 2z = 19.000
4(1.000) + 6(2.000) + 2z = 19.000
4.000 + 12.000 + 2z = 19.000
16.000 + 2z = 19.000
2z = 3.000
z = 1.500
jadi, harga sebuah pena adalah Rp 1.500,00.
4. 4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
x + y + z = 45
x + 4 = y
z – 17 = x
adalah ....
a. (10, 8, 25)
b. (10,12, 30)
c. (8, 12, 25)
d. (8, 10, 20)
e. (6, 8, 25)
Penyelesaiaan:
x + y + z = 45 (i)
x + 4 = y (ii)
z – 17 = x (iii)
Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):
x + y + z = 45
x – y = -4 +
2x + z = 41 (iv)
Eliminasi variabel z persamaan (iii) dan (iv):
x – z = -17
2x + z = 41 +
3x = 24
x = 8 (v)
Substitusikan persamaan (v) ke (ii):
8 + 4 = y => y = 12
Substitusikan persamaan (v) ke (iii):
z – 17 = 8 => z = 25
jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah (8, 12, 25)
5. 5. Arni, Febri, dan Dewi bersama – sama pergi koperasi sekolah. Arni membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Febri membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp 21.000,00. Sedangkan Dewi membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp 12.000,00. Jika Masrur membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka jumlah uang yang harus dibayarkan oleh masrur adalah ....
a. Rp 13.200,00
b. Rp 13.700,00
c. Rp 14.500,00
d. Rp 15.300,00
e. Rp 16.000,00
Penyelesaian:
Misalkan: x = buku
y = pulpen
z = pensil
Ditanya: 2y + 3z ?
Dari soal diatas, dapat disusun sistem persamaan linier sebagai berikut.
4x + 2y + 3z = 26.000 (i)
3x + 3y + z = 21.000 (ii)
3x + z = 12.000 (iii)
Eliminasi variabel y persamaan (i) dan (ii):
4x + 2y + 3z = 26.000 |x3| 12x + 6y + 9z = 78.000
3x + 3y + z = 21.000 |x2| 6x + 6y + 2z = 42.000 -
6x + 7z = 36.000 (iv)
Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (iii):
6x + 7z = 36.000 |x1| 6x + 7y = 36.000
3x + z = 12.000 |x2| 6x + 2z = 24.000 -
5z = 12.000
z = 2.400
Eliminasikan persamaan (ii) dan (iii):
3x + 3y + z = 21.000
3x + z = 12.000 -
3y = 9.000
y = 3.000
Subtitusikan nila z = 2.400 ke persamaan (iii):
3x + z = 12.000
3x + 2.400 = 12.000
3x = 9.600
x = 3.200
Jadi, harga untuk 2 pulpen dan 3 pensil adalah 2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.000,00
6. 6. Diketahui sistem persamaan linier tiga variabel sebagai berikut.
2x – 3y + z = 8
x + 2y – z = -1
x + 3y + 2z = 1
Nilai dari x + y + z adalah ....
a. -2
b. 0
c. 2
d. 4
e. 8
Penyelesaiaan:
Penyelesaiaan:
2x – 3y + z = 8 (i)
x + 2y – z = -1 (ii)
x + 3y + 2z = 1 (iii)
Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):
2x – 3y + z = 8
x + 2y – z = -1 +
3x – y = 7 (iv)
Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (iii):
2x – 3y + z = 8 |x2| 4x – 6y + 2z = 16
X + 3y + 2z = 1 |x1| x + 3y + 2z = 1 -
3x – 9y = 15 (v)
Eliminasi variabel x persamaan (iv) dan (v):
3x – 9y = 15
3x – y = 7 -
-8y = 8
y = -1
Substitusikan nilai y = -1 ke persamaan (v):
3x – 9(-1) = 15
3x + 9 = 15
3x = 6 => x = 2
Substitusikan nilai x = 2 dan y = -1 ke persamaan (i):
2x – 3y + z =8
2(2) – 3(-1) + z = 8
7 + z = 8 => z = 1
Jadi, nilai dari x + y + z adalah 2 + (-1) + 1 = 2
7. 7. Harga 2 kg pisang, 2 kg mangga, 1kg manggis adalah Rp 70.000,00. Harga 1 kg pisang, 2 kg mangga, 2 kg manggis adalah Rp 90.000,00. jika harga 2 kg pisang, 2 kg mangga, 3 kg manggis Rp 130.000,00. Maka harga 1 kg mangga adalah ....
a. Rp 5.000,00
b. Rp 7.500,00
c. Rp 10.000,00
d. Rp 12.000,00
e. Rp 15.000,00
Penyelesaiaan:
Misalkan: x = pisang
y = mangga
z = manggis
maka dapat diperolah persamaan sebagai berikut:
2x + 2y + z = 70.000 (i)
x + 2y + 2z = 90.000 (ii)
2x + 2y + 3z = 130.000 (iii)
Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (ii):
2x + 2y + z = 70.000 |x2| 4x + 4y + 2z = 140.000
x + 2y + 2z = 90.000 |x1| x + 2y + 2z = 90.000 -
3x + 2y = 50.000 (iv)
Eliminasi variabel z persamaan (i) dan (iii):
2x + 2y + z = 70.000 |x3| 6x + 6y + 3z = 210.000
2x + 2y + 3z = 130.000 |x1| 2x + 2y + 3z = 130.000 -
4x + 4y = 80.000 (v)
Eliminasi variabel y persamaan (iv) dan (v):
3x + 2y = 50.000 |x2| 6x + 4y = 100.000
4x + 4y = 80.000 |x1| 4x + 4y = 80.000 -
2x = 20.000
x = 10.000
Eliminasi variabel x dan y persamaan (iii) dan (i):
2x + 2y + 3z = 130.000
2x + 2y + z = 70.000 -
2z = 60.000
z = 30.000
Substitusikan nilai x = 10.000 dan z = 30.000 ke persamaan (i):
2x + 2y + z = 70.000
2(10.000) + 2y + 30.000 = 70.000
20.000 + 30.000 + 2y = 70.000
2y = 70.000 – 50.000
y = 10.000
Jadi, harga 1 kg mangga adalah y = Rp 10.000,00
0 komentar:
Posting Komentar